考虑直线 $y=\dfrac{x}{100}$ 与正弦曲线 $y=\sin x$ 的公共点．正弦曲线在 $x=2k\pi+\dfrac{\pi}2$（$k\in\mathbb N^*$）对应的点记为 $A_k$，则直线 $OA_k$ 的斜率\[k_{OA_k}=\dfrac{1}{2k\pi+\dfrac{\pi}2},\]而方程\[\dfrac{1}{2x\pi+\dfrac{\pi}2}=\dfrac{1}{100}\]的解为 $x\approx 15.7$，于是\[k_{OA_{16}}<\dfrac{1}{100}<k_{OA_{15}}.\]一方面，直线 $y=\dfrac{x}{100}$ 与正弦曲线 $y=\sin x$ 在每一个 $A_k$（$k\in\mathbb N^*$ 且 $k\leqslant 15$）对应的区间 $(2k\pi,2k\pi+\pi)$ 上均有两个交点．
另一方面，考虑正弦曲线在 $(32\pi,33\pi)$ 时有\[\dfrac{x}{100}>1>\sin x,\]因此直线 $y=\dfrac{x}{100}$ 与正弦曲线 $y=\sin x$ 在 $(32\pi,33\pi)$ 上没有公共点．
综上所述，结合对称性，可得所有的实数解个数为 $15\cdot 4+3=63$．