已知 $a,b,m,n\in \mathbb R$，且 $m^2n^2>a^2m^2+b^2n^2$．令 $M=\sqrt{m^2+n^2}$，$N=a+b$，则 $M$ 与 $N$ 的大小关系是 \((\qquad)\)
【难度】
【出处】
2014年第二十五届“希望杯”全国数学邀请赛高一（二试）
【标注】
【答案】
A
【解析】
因为$$m^2n^2 >a^2m^2+b^2n^2,$$所以$$m^2\left(n^2-a^2\right)>b^2n^2,n^2\left(m^2-b^2\right)>a^2m^2,$$所以$$n^2-a^2>0\land m^2-b^2>0,$$又$$\left(n^2-a^2\right)\left(m^2-b^2\right)>a^2b^2,$$所以\[\begin{split}M^2-N^2&=m^2+n^2-a^2-b^2-2ab\\&=\left(n^2-a^2\right)+\left(m^2-b^2\right)-2ab\\&\geqslant 2\sqrt{\left(n^2-a^2\right)\left(m^2-b^2\right)}-2ab\\&>2ab-2ab\\&=0,\end{split}\]所以$$M>N.$$
题目
答案
解析
备注
