若函数 $f(x)=x^2-2a|x-a|-2ax+1$ 有且仅有 $3$ 个零点，则实数 $a$ 的值是 \((\qquad)\)
【难度】
【出处】
2014年第二十五届“希望杯”全国数学邀请赛高一（二试）
【标注】
【答案】
C
【解析】
令 $t=|x-a|$，则$$g(t)=t^2-2at+1-a^2.$$因为函数 $f(x)$ 有且仅有 $3$ 个零点，所以方程$$t^2-2at+1-a^2=0$$必有两个不等实根 $t_1,t_2$，且$$t_1=0,t_2>0.$$将 $t_1=0$ 代入方程可得$$a=\pm 1.$$由 $t_1+t_2=2a>0$ 可知$$a=1.$$
题目
答案
解析
备注
