如图，$ABCD-EFMN$ 是一个长方体，$\triangle{BFN}$ 中，$\angle{BFN}=90^{\circ}$，$\angle{BNF}=30^{\circ}$，$BF=m$，则该长方体体积的最大值是 \((\qquad)\)
【难度】
【出处】
2014年第二十五届“希望杯”全国数学邀请赛高一（一试）
【标注】
【答案】
C
【解析】
因为 $\angle{BFN}=90^{\circ}$，$BF=m$，所以$$FN=\sqrt 3 m,$$设 $EF=a$，$EN=b$，则$$a^2+b^2=3m^2\geqslant 2ab,$$所以$$ab\leqslant \dfrac{3}{2}m^2,$$设长方体体积为 $V$，则$$V=abm\leqslant \dfrac 32 m^3,$$当且仅当 $a=b=\dfrac{\sqrt 6}{2}m$ 时，$$V_{\max}=\dfrac 32 m^3.$$
题目
答案
解析
备注
