已知抛物线 $y^2=4x$，点 $A(4,4)$，点 $P,Q$ 在抛物线上．当直线 $AP$ 与 $AQ$ 的斜率之和为 $\dfrac43$ 时，直线 $PQ$ 经过定点 $D$，则点 $D$ 的坐标为 \((\qquad)\) ．
【难度】
【出处】
2015年第二十六届“希望杯”全国数学邀请赛高二（一试）
【标注】
【答案】
A
【解析】
将坐标系原点平移到 $A$，则抛物线方程变为\[\left(y'+4\right)^2=4\left(x'+4\right),\]即\[y'^2+8y'-4x'=0.\]设直线 $P'Q'$ 的方程为\[mx'+ny'=1,\]化齐次联立可得\[y'^2+\left(8y'-4x'\right)\cdot \left(mx'+ny'\right)=0,\]即\[\left(8n+1\right)y'^2+(8m-4n)\cdot x'y'-4mx'^2=0,\]它的两根之和\[-\dfrac{8m-4n}{8n+1}=\dfrac 43,\]即\[(-6)\cdot m+(-5)\cdot n=1,\]因此直线 $P'Q'$ 恒过点 $R'(-6,-5)$，即原坐标系下的 $R(-2,-1)$．
题目
答案
解析
备注
