设这样的三角形存在，为 ${\mathrm{Rt}}\triangle ABC$．过点 $A$ 作圆$${x^2} + {\left( {y - 1} \right)^2} = {r^2},$$则 $B$、$C$ 是圆与椭圆交点中的两个不同点．坐标原点平移至 $A$，则椭圆的方程转化为$$\dfrac{{{x^2}}}{{{a^2}}} + {\left( {y + 1} \right)^2} = 1,$$即$$\dfrac{{{x^2}}}{{{a^2}}} + {y^2} + 2y = 0.$$圆的参数方程为$$\begin{cases}
x = r\cos \theta ,\\
y = r\sin \theta .\\
\end{cases}\theta \in \left( {{\mathrm{\pi }}, 2{\mathrm{\pi }}} \right)$$联立，有$$\dfrac{{{r^2}}}{{{a^2}}}{\cos ^2}\theta + {r^2}{\sin ^2}\theta + 2r\sin \theta = 0,$$也即$$\left( {{a^2} - 1} \right)r{\sin ^2}\theta + 2{a^2}\sin \theta + r = 0.$$不妨设 $B$、$C$ 对应的参数分别为 $\theta $ 和 $\theta + \dfrac{{\mathrm{\pi }}}{2}$，则$$\begin{cases}
\left( {{a^2} - 1} \right)r{\sin ^2}\theta + 2{a^2}\sin \theta + r = 0 ,\\
\left( {{a^2} - 1} \right)r{\sin ^2}\left( {\theta + \dfrac{{\mathrm{\pi }}}{2}} \right) + 2{a^2}\sin \left( {\theta + \dfrac{{\mathrm{\pi }}}{2}} \right) + r = 0 .\\
\end{cases}$$两式相加减得，$$\begin{cases}
\left( {{a^2} - 1} \right)r\left( {{{\sin }^2}\theta - {{\cos }^2}\theta } \right) + 2{a^2}\left( {\sin \theta - \cos \theta } \right) = 0 ,\\
\left( {{a^2} - 1} \right)r + 2{a^2}\left( {\sin \theta + \cos \theta } \right) + 2r = 0.\\
\end{cases}$$于是$$\begin{cases}
\sin \theta + \cos \theta = - \dfrac{{{a^2} + 1}}{{2{a^2}}} \cdot r ,\\
\sin \theta - \cos \theta = 0 .\\
\end{cases}\text{或}\begin{cases}\sin \theta + \cos \theta = - \dfrac{{{a^2} + 1}}{{2{a^2}}} \cdot r ,\\
\sin \theta + \cos \theta = - \dfrac{{2{a^2}}}{{{a^2} - 1}} \cdot \dfrac{1}{r}.\\
\end{cases}$$情形一 $\theta = \dfrac{{5{\mathrm{\pi }}}}{4}$，此时 $r = \dfrac{{2\sqrt 2 {a^2}}}{{{a^2} + 1}}$ 即可；这说明无论 $a$ 取何值都存在这样一个等腰直角三角形（斜边与 $x$ 轴平行）；
情形二 $r = \dfrac{{2{a^2}}}{{\sqrt {{a^4} - 1} }}$，此时方程变为$$\left( {{a^2} - 1} \right){\sin ^2}\theta + \sqrt {{a^4} - 1} \sin \theta + 1 = 0.$$记$$f\left( t \right) = \left( {{a^2} - 1} \right){t^2} + \sqrt {{a^4} - 1} \cdot t + 1,$$则$$f\left( 0 \right) > 0,f\left( { - 1} \right) > 0.$$所以当$$\begin{cases}
- 1 < - \dfrac{{\sqrt {{a^4} - 1} }}{{2\left( {{a^2} - 1} \right)}} < 0 ,\\
{a^4} - 1 - 4\left( {{a^2} - 1} \right) > 0 .\\
\end{cases}$$也即 ${a^2} > 3$ 时，$f\left( t \right) = 0$ 在 $t \in \left[ { - 1,0} \right]$ 上有两根．
此时存在两个这样的等腰直角三角形．
综上，当 $0 < a \leqslant \sqrt 3 $ 时，存在一个满足题意的等腰直角三角形，当 $a > \sqrt 3 $ 时，存在三个满足题意的等腰直角三角形．