将坐标系 $xOy$ 的原点平移到 $A$，则椭圆方程变为\[\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{(y-b)^2}{b^2}=1,\]即\[\dfrac{x^2}{a^2}-\dfrac{2}{b}y+\dfrac{y^2}{b^2}=0.\]此时不妨设以 $A$ 为直角顶点的椭圆内接等腰直角三角形为 $\triangle ABC$，且 $B(\theta:r)$，$C\left(\theta+\dfrac{\pi}2:r\right)$，其中 $\theta$ 是第一象限的角．代入椭圆方程，可得\[\begin{cases}\dfrac{r^2\cos^2\theta}{a^2}-\dfrac {2r\sin\theta}b+\dfrac{r^2\sin^2\theta}{b^2}=0,\\
\dfrac{r^2\sin^2\theta}{a^2}-\dfrac{2r\cos\theta}b+\dfrac{r^2\cos^2\theta}{b^2}=0,\end{cases}\]根据题意，这个关于 $(r,\theta)$ 的方程组有且仅有 $3$ 组解．该方程组等价于\[r=\dfrac{\dfrac{2\sin\theta}b}{\dfrac{\cos^2\theta}{a^2}+\dfrac{\sin^2\theta}{b^2}}=\dfrac{\dfrac{2\cos\theta}{b}}{\dfrac{\sin^2\theta}{a^2}+\dfrac{\cos^2\theta}{b^2}},\]于是\[(\sin\theta-\cos\theta)\left(\dfrac{1+\sin\theta\cos\theta}{a^2}-\dfrac{\sin\theta\cos\theta}{b^2}\right)=0,\]即\[\theta=\dfrac{\pi}4\]或\[\sin 2\theta=\dfrac{2b^2}{a^2-b^2},\]这就意味着当 $\dfrac{2b^2}{a^2-b^2}<1$ 时符合题意，也即 $e>\dfrac{\sqrt 6}3$ 时符合题意．综上所述，椭圆离心率 $e$ 的取值范围是 $\left(\dfrac{\sqrt 6}3,1\right)$．