已知 $S=\dfrac{\pi}{20000}\cdot\left(\sin\dfrac{\pi}{20000}+\sin\dfrac{2\pi}{20000}+\sin\dfrac{3\pi}{20000}+\cdots+\sin\dfrac{10000\pi}{20000}\right)$，推测下列各值中与 $S$ 最接近的是 \((\qquad)\)
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
C
【解析】
观察 $S$ 的形式，我们将区间 $\left[0,\dfrac {\pi}{2}\right]$ 进行 $10000$ 等分，将得到的横坐标对应的函数 $f(x)=\sin x$ 图象上的点记为$$A_k,k=0,1,2,\cdots,10000,$$即 $A_k\left(\dfrac {k\pi}{20000},\sin\dfrac {k\pi}{20000}\right )$，过这些点作 $x$ 轴的平行线，得到如下图的小矩形（示意图，将区间 $8$ 等分）：
于是 $S$ 为这些小矩形的面积之和，所以$$S>\int_{0}^{\frac {\pi}{2}}\sin x\mathrm{d}x=1.$$其次，我们来估计多出的面积有多少，这需要用到正弦函数图象特点（即凹凸性），依次连接 $A_kA_{k+1}$，得到很多小的直角三角形，多出来的面积比这些小直角三角形的面积之和小，如下图：
这些小的直角三角形有一条相等的边，故面积之和为$$\dfrac 12\times \dfrac {\pi}{20000}\times 1<10^{-4}.$$综上 $1<S<1.0001$，C正确．
于是 $S$ 为这些小矩形的面积之和，所以$$S>\int_{0}^{\frac {\pi}{2}}\sin x\mathrm{d}x=1.$$其次，我们来估计多出的面积有多少，这需要用到正弦函数图象特点（即凹凸性），依次连接 $A_kA_{k+1}$，得到很多小的直角三角形，多出来的面积比这些小直角三角形的面积之和小，如下图：这些小的直角三角形有一条相等的边，故面积之和为$$\dfrac 12\times \dfrac {\pi}{20000}\times 1<10^{-4}.$$综上 $1<S<1.0001$，C正确．
题目
答案
解析
备注
