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已知数列 $\{a_n\}$ 满足 $a_na^2_{n+1}+2a_{n+1}-a_n=0$，其中 $a_1=1$，$a_n>0$，那么该数列的通项公式是  \((\qquad)\)
A: $a_n=2^{n-1}$
B: $a_n=\log_4{2^{n+1}}$
C: $a_n=\tan\dfrac{\pi}{2^{n+1}}$
D: $a_n=2\sin^2\dfrac{\pi}{2^{n+1}}$
【难度】
【出处】
2014年第二十五届“希望杯”全国数学邀请赛高二（一试）
【标注】
【答案】
C
【解析】
注意到题中等式可化为$$a_n=\dfrac{2a_{n+1}}{1-a^2_{n+1}},$$考虑到正切的二倍角公式，令 $a_n=\tan\theta$，则$$a_{n+1}=\tan\dfrac{\theta}{2},$$结合 $a_n>0$，$a_1=1$，则令 $a_1=\tan\dfrac{\pi}{4}$，因此，$a_n=\tan\dfrac{\pi}{2^{n+1}}$．
题目 答案 解析 备注
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