在平面直角坐标系内，已知点 $A(1,3)$，点 $B(3,1)$，若点 $C$ 在抛物线 $y^2=-2x$ 上，则 $\triangle ABC$ 的面积的最小值是 \((\qquad)\)
【难度】
【出处】
2014年第二十五届“希望杯”全国数学邀请赛高二（一试）
【标注】
【答案】
B
【解析】
设点 $C$ 坐标为 $(-2y^2,2y)$，直线 $AB$ 方程为 $x+y=4$，$|AB|=2\sqrt2$，则点 $C$ 到直线 $AB$ 的距离是$$d=\dfrac{|-2y^2+2y-4|}{\sqrt2},$$因此，$\triangle ABC$ 的面积为$$S_{\triangle ABC}=\dfrac12\cdot|AB|\cdot d=2\left(y-\dfrac12\right)^2+\dfrac72,$$因此当 $y=\dfrac12$ 时，$\triangle ABC$ 的面积最小为 $\dfrac72$．
题目
答案
解析
备注
