定义在 $\mathbb R$ 上的函数 $f(x)$ 满足 $f(x+1)=-f(x)$，且当 $x\in[0,1)$ 时，$f(x)=x$．则方程 $f(x)={\log_3}|x|$ 的实数解的个数是 \((\qquad)\)
【难度】
【出处】
2014年第二十五届“希望杯”全国数学邀请赛高二（二试）
【标注】
【答案】
B
【解析】
根据题意，函数 $f(x)$ 的周期为 $2$，且自变量相差 $1$ 时，函数值相反，题意即 $f(x)$ 与 $y={\log_3}|x|$ 的交点个数，如图．
注意到 $x=-1,1$ 为两个交点，且 $x$ 在 $(-2,-1)$ 上显然存在一个交点，接下来研究 $x\in(-1,0)$ 上是否存在交点．
研究函数 $g(x)={\log_3}x-x+1,x\in(0,1)$，求导得$$g'(x)=\dfrac{1}{x{\ln}3}-1,$$因此 $g(x)$ 在 $\left(0,\dfrac{1}{{\ln}3}\right)$ 上单调递增，在 $\left(\dfrac{1}{{\ln}3},1\right)$ 上单调递减，再结合$$g\left(\dfrac13\right)=-\dfrac13<0 , g({\ln}3)>g(1)=0,$$故存在 $x_0\in(0,1)$ 使得 $g(x_0)=0$，即$${\log_3}x_0-x_0+1=0,$$因此，即$$\exists x_1\in(-1,0) , {\log_3}(-x_1)=-x_1-1,$$因此，在 $(-1,0)$ 上也存在一个交点．
综上，方程 $f(x)={\log_3}|x|$ 的交点个数为 $4$．
注意到 $x=-1,1$ 为两个交点，且 $x$ 在 $(-2,-1)$ 上显然存在一个交点，接下来研究 $x\in(-1,0)$ 上是否存在交点．研究函数 $g(x)={\log_3}x-x+1,x\in(0,1)$，求导得$$g'(x)=\dfrac{1}{x{\ln}3}-1,$$因此 $g(x)$ 在 $\left(0,\dfrac{1}{{\ln}3}\right)$ 上单调递增，在 $\left(\dfrac{1}{{\ln}3},1\right)$ 上单调递减，再结合$$g\left(\dfrac13\right)=-\dfrac13<0 , g({\ln}3)>g(1)=0,$$故存在 $x_0\in(0,1)$ 使得 $g(x_0)=0$，即$${\log_3}x_0-x_0+1=0,$$因此，即$$\exists x_1\in(-1,0) , {\log_3}(-x_1)=-x_1-1,$$因此，在 $(-1,0)$ 上也存在一个交点．
综上，方程 $f(x)={\log_3}|x|$ 的交点个数为 $4$．
题目
答案
解析
备注
