在平面直角坐标系 $xOy$ 中，$\triangle ABC$ 的两个顶点是 $A(3,0),B(0,4)$，若顶点 $C$ 在抛物线 $y^2=-2x$ 上，则 $\triangle ABC$ 的面积的最小值是 \((\qquad)\)
【难度】
【出处】
2014年第二十五届“希望杯”全国数学邀请赛高二（二试）
【标注】
【答案】
A
【解析】
设点 $C(-2y^2,2y)$，由题 $|AB|=5$，直线 $AB$ 方程为 $4x+3y=12$，则有$$d=\dfrac{|-8y^2+6y-12|}{5},$$因此，$\triangle ABC$ 的面积为$$S_{\triangle ABC}=\dfrac12\cdot|AB|\cdot d=\left(2y-\dfrac34\right)^2+\dfrac{87}{16}\geqslant\dfrac{87}{16}.$$因此 $\triangle ABC$ 的面积的最小值为 $\dfrac{87}{16}$．
题目
答案
解析
备注
