如图，$F_1,F_2$ 分别是双曲线 $C:\dfrac{x^2}{a^2}-\dfrac{y^2}{b^2}=1(a,b>0)$ 的左右焦点，过 $F_1$ 的直线与 $C$ 的左右两支分别交于 $A,B$ 两点，若 $|AB|:|BF_2|:|F_2A|=3:4:5$，则 $C$ 的离心率是 \((\qquad)\) 
【难度】
【出处】
2014年第二十五届“希望杯”全国数学邀请赛高二（二试）
【标注】
【答案】
A
【解析】
则根据双曲线定义，得$$\begin{cases}|BA|+|AF_1|-|BF_2|=2a,\\|AF_2|-|AF_1|=2a,\end{cases}$$再结合 $|AB|:|BF_2|:|F_2A|=3:4:5$，解得$$|AB|=3a,|AF_1|=3a,|BF_2|=4a,|AF_2|=5a,$$故点 $A$ 是 $BF_1$ 的中点，在 $\triangle BF_1F_2$ 中，利用三角形中线性质，得$$2\left[|BF_2|^2+|F_1F_2|^2\right]=|BF_1|^2+4|AF_2|^2,$$代入得到$$c^2=13a^2,$$因此，$C$ 的离心率为 $\sqrt{13}$．
题目
答案
解析
备注
