设 $ S $ 是整数集 $ {\mathbb{Z}} $ 的非空子集，如果对于 $ \forall a$、$b \in S $，有 $ ab \in S $，则称 $ S $ 关于数的乘法是封闭的．若 $ T,V $ 是 $\mathbb Z $ 的两个不相交的非空子集，$ T \cup V =\mathbb Z $．且对于 $ \forall a, b, c \in T $，有 $ abc \in T $，$\forall x,y,z \in V $，有 $ xyz \in V $．则下列结论恒成立的是 \((\qquad)\)
【难度】
【出处】
2011年高考广东卷（理）
【标注】
【答案】
A
【解析】
思考一些关于数的乘法封闭的集合实例．
这个问题也就是，整数的什么性质在二元乘法的作用下仍然是保持的？
容易想到奇数、偶数、正整数等等．
很明显，在二元乘法作用下保持的性质在三元乘法作用下仍然保持．因此考虑到奇数、偶数恰好可以作为一组 $T , V$，它们符合题意且均关于乘法封闭，排除B、C．
接下来思考，整数的什么性质虽然在二元乘法下被破坏，但在三元乘法的作用下保持？
答案是负整数．这就意味着如果我们将整数集 $\mathbb Z $ 划分为正整数集 $T$ 和负整数集 $U$（当然要考虑元素 $0$，将它放在 $T$ 和 $U$ 中均可），那么就得到选项D的反例，排除D．
因此选A．
这个问题也就是，整数的什么性质在二元乘法的作用下仍然是保持的？
容易想到奇数、偶数、正整数等等．
很明显，在二元乘法作用下保持的性质在三元乘法作用下仍然保持．因此考虑到奇数、偶数恰好可以作为一组 $T , V$，它们符合题意且均关于乘法封闭，排除B、C．
接下来思考，整数的什么性质虽然在二元乘法下被破坏，但在三元乘法的作用下保持？
答案是负整数．这就意味着如果我们将整数集 $\mathbb Z $ 划分为正整数集 $T$ 和负整数集 $U$（当然要考虑元素 $0$，将它放在 $T$ 和 $U$ 中均可），那么就得到选项D的反例，排除D．
因此选A．
题目
答案
解析
备注
