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对于正实数 $\alpha $，记 ${M_\alpha }$ 为满足下述条件的函数 $f\left(x\right)$ 构成的集合：$\forall {x_1},{x_2} \in {\mathbb{R}}$ 且 ${x_2} > {x_1}$，有 $ - \alpha \left({x_2} - {x_1}\right) < f\left({x_2}\right) - f\left({x_1}\right) < \alpha \left({x_2} - {x_1}\right)$．下列结论中正确的是  \((\qquad)\)
A: 若 $f\left(x\right) \in {M_{\alpha_1}}$，$g\left(x\right) \in {M_{\alpha_2}}$，则 $f\left(x\right) \cdot g\left(x\right) \in {M_{\alpha_1 \cdot \alpha_2}}$
B: 若 $f\left(x\right) \in {M_{\alpha_1}}$，$g\left(x\right) \in {M_{\alpha_2}}$，且 $g\left(x\right) \ne 0$，则 $\dfrac{f\left(x\right)}{g\left(x\right)} \in {M_{\frac{\alpha_1}{\alpha_2}}}$
C: 若 $f\left(x\right) \in {M_{\alpha_1}}$，$g\left(x\right) \in {M_{\alpha_2}}$，则 $f\left(x\right) + g\left(x\right) \in {M_{\alpha_1 + \alpha_2}}$
D: 若 $f\left(x\right) \in {M_{\alpha_1}}$，$g\left(x\right) \in {M_{\alpha_2}}$，且 ${\alpha _1} > {\alpha _2}$，则 $f\left(x\right) - g\left(x\right) \in {M_{\alpha_1 - \alpha_2}}$
【难度】
【出处】
无
【标注】
  • 知识点
    >
    函数
    >
    函数的图象与性质
    >
    函数的有界性
  • 知识点
    >
    微积分初步
    >
    微积分补充知识
    >
    拉格朗日中值定理
【答案】
C
【解析】
由拉格朗日中值定理知，$f\left(x\right) \in {M_{\alpha_1}}\Leftrightarrow |f'(x)|<\alpha_1$，$g\left(x\right) \in {M_{\alpha_2}}\Leftrightarrow |g'(x)|<\alpha_2$．
对于选项A，即$$\left|[f(x)\cdot g(x)]'\right|=|f'(x)g(x)+f(x)g'(x)|<\alpha_1\alpha_2;$$对于选项B，即$$\left|\left[\dfrac {f(x)}{g(x)}\right]'\right|=\left|\dfrac {f'(x)g(x)-f(x)g'(x)}{[g(x)]^2}\right|<\dfrac {\alpha_1}{\alpha_2};$$对于选项C，即$$\left|[f(x)+ g(x)]'\right|=|f'(x) + g'(x)|<\alpha_1+\alpha_2;$$对于选项D，即$$\left|[f(x)- g(x)]'\right|=|f'(x) - g'(x)|<\alpha_1-\alpha_2.$$分析后可知选项C正确，$$ |f'(x) + g'(x)|<|f'(x)|+|g'(x)|<\alpha_1+\alpha_2.$$下面给出A、B、D的反例．
A．$f(x)=x$，$\alpha_1=2$，$g(x)=10$，$\alpha_2=1$，此时$$\left|[f(x)\cdot g(x)]'\right|=10>\alpha_1\alpha_2;$$B．$f(x)=x$，$\alpha_1=2$，$g(x)=\dfrac 1{10}$，$\alpha_2=1$，此时$$\left|\left[\dfrac {f(x)}{g(x)}\right]'\right|=10>\dfrac {\alpha_1}{\alpha_2};$$D．$f(x)=x$，$\alpha_1=\dfrac 32$，$g(x)=1 $，$\alpha_2=1$，此时$$\left|[f(x)- g(x)]'\right|=1>\alpha_1-\alpha_2.$$
题目 答案 解析 备注
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