已知函数 $f\left(x\right)$ 的定义域为 $ {\mathbb{R}} $，若存在常数 $m > 0$，对任意 $x \in {\mathbb{R}}$，有 $\left| {f\left(x\right)} \right| \leqslant m\left| x \right|$，则称 $f\left(x\right)$ 为 $F$ 函数．给出下列函数：
① $f\left(x\right) = 0$；② $f\left(x\right) = {x^2}$；③ $f\left(x\right) = \sin x + \cos x$；④ $f\left(x\right) = \dfrac{x}{{{x^2} + x + 1}}$；⑤ $f\left(x\right)$ 是定义在 $ {\mathbb{R}} $ 上的奇函数，且满足对一切实数 ${x_1},{x_2}$ 均有 $\left| {f\left({x_1}\right) - f\left({x_2}\right)} \right| \leqslant 2\left| {{x_1} - {x_2}} \right|$．
其中是 $F$ 函数的序号为 \((\qquad)\)
① $f\left(x\right) = 0$；② $f\left(x\right) = {x^2}$；③ $f\left(x\right) = \sin x + \cos x$；④ $f\left(x\right) = \dfrac{x}{{{x^2} + x + 1}}$；⑤ $f\left(x\right)$ 是定义在 $ {\mathbb{R}} $ 上的奇函数，且满足对一切实数 ${x_1},{x_2}$ 均有 $\left| {f\left({x_1}\right) - f\left({x_2}\right)} \right| \leqslant 2\left| {{x_1} - {x_2}} \right|$．
其中是 $F$ 函数的序号为 \((\qquad)\)
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
C
【解析】
条件“$\left| {f\left(x\right)} \right| \leqslant m\left| x \right|$”不好用，将其转化：
当 $x=0$ 时，$f(0)=0$；
当 $x\neq 0$ 时，$\left| \dfrac {f\left(x\right)}{x} \right| \leqslant m $．
对于 ①，$\left| \dfrac {f\left(x\right)}{x} \right| =0 $，存在 $m=1$ 符合题意，因此 $f(x)=0$ 为 $F$ 函数；
对于 ②，$\left| \dfrac {f\left(x\right)}{x} \right| =|x| $，不存在 $m>0 $ 符合题意，因此 $f(x)=x^2$ 不为 $F$ 函数；
对于 ③，不满足 $f(0)=0$，因此 $f\left(x\right) = \sin x + \cos x$ 不为 $F$ 函数；
对于 ④，$$\left| \dfrac {f\left(x\right)}{x} \right| =\left|\dfrac 1{x^2+x+1}\right|=\left|\dfrac 1{\left(x+\dfrac 12\right)^2+\dfrac 34}\right|\leqslant \dfrac 43.$$存在 $m=2$ 符合题意，因此 $f\left(x\right) = \dfrac{x}{{{x^2} + x + 1}}$ 为 $F$ 函数；
对于 ⑤，固定 $x_2=0$，则 $|f(x_1)|\leqslant 2|x_1|$ 对一切 $x_1 \in \mathbb R$ 恒成立，于是 $f(x)$ 为 $F$ 函数．
综上，选项C正确．
当 $x=0$ 时，$f(0)=0$；
当 $x\neq 0$ 时，$\left| \dfrac {f\left(x\right)}{x} \right| \leqslant m $．
对于 ①，$\left| \dfrac {f\left(x\right)}{x} \right| =0 $，存在 $m=1$ 符合题意，因此 $f(x)=0$ 为 $F$ 函数；
对于 ②，$\left| \dfrac {f\left(x\right)}{x} \right| =|x| $，不存在 $m>0 $ 符合题意，因此 $f(x)=x^2$ 不为 $F$ 函数；
对于 ③，不满足 $f(0)=0$，因此 $f\left(x\right) = \sin x + \cos x$ 不为 $F$ 函数；
对于 ④，$$\left| \dfrac {f\left(x\right)}{x} \right| =\left|\dfrac 1{x^2+x+1}\right|=\left|\dfrac 1{\left(x+\dfrac 12\right)^2+\dfrac 34}\right|\leqslant \dfrac 43.$$存在 $m=2$ 符合题意，因此 $f\left(x\right) = \dfrac{x}{{{x^2} + x + 1}}$ 为 $F$ 函数；
对于 ⑤，固定 $x_2=0$，则 $|f(x_1)|\leqslant 2|x_1|$ 对一切 $x_1 \in \mathbb R$ 恒成立，于是 $f(x)$ 为 $F$ 函数．
综上，选项C正确．
题目
答案
解析
备注
