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过点 $ P\left(1,1\right) $ 的直线，将圆形区域 $ \left\{\left(x,y\right) \left| \right.x^2+y^2\leqslant 4\right\} $ 分为两部分，使得这两部分的面积之差最大，则该直线的方程为 \((\qquad)\)
A: $ x+y-2=0 $
B: $ y-1=0 $
C: $ x-y=0 $
D: $ x+3y-4=0 $
【难度】
【出处】
2012年高考湖北卷（文）
【标注】
【答案】
A
【解析】
两部分的面积之差最大，则两部分的弧长之差最大，进而直线被圆截得的弦长最小，此时弦所在直线与圆心和点 $ P $ 的连线垂直．要使直线将圆形区域分成两部分的面积之差最大，显然只需该直线与直线 $ OP $ 垂直即可．所以此时直线的斜率满足 $k_l\cdot k_{OP}=-1 $，所以此时直线的方程为 $ x+y-2=0 $． 
题目 答案 解析 备注
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