已知点 $P$ 是棱长为 $\sqrt{2}$ 的正四面体 $ABCD$ 内的任意一点，它到四个面的距离分别是 $d_{1}$、$d_{2}$、$d_{3}$、$d_{4}$，则 $\frac{1}{d_{1}^2 + d_{2}^2 +d_{3}^2 +d_{4}^2}$ 的最大值为 ．
【难度】
【出处】
2015年全国高中数学联赛河南省预赛
【标注】
【答案】
$3$
【解析】
因为$$V_{ABCD} = V_{P-ABC} + V_{P-DBC} +V_{P-CDA} +V_{P-DAB},$$所以$$\dfrac{\sqrt{2}}{12} (\sqrt{2})^3 = \dfrac{1}{3} \cdot \dfrac{\sqrt{3}}{4} \cdot (\sqrt{2})^2 \cdot (d_{1} + d_{2} +d_{3} +d_{4} ),$$即$$d_{1} + d_{2} +d_{3} +d_{4} = \dfrac{2\sqrt{3}}{3}.$$于是由Cauchy不等式得$$d_{1}^2 + d_{2}^2 +d_{3}^2 +d_{4}^2 \geqslant \dfrac{(d_{1} + d_{2} +d_{3} +d_{4} )^2}{4} = \dfrac{1}{3},$$等号成立当且仅当 $d_{1} = d_{2} =d_{3}=d_{4}=\dfrac{\sqrt{3}}{6}.$
题目
答案
解析
备注
