设随机变量 $\xi$ 的分布列如下：\[\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|}\hline
\xi&1&2&3&4&5&6&7&8&9&10\\ \hline
P&a_{1}&a_{2}&a_{3}&a_{4}&a_{5}&a_{6}&a_{7}&a_{8}&a_{9}&a_{10}\\ \hline
\end{array}\]则 \((\qquad)\)
\xi&1&2&3&4&5&6&7&8&9&10\\ \hline
P&a_{1}&a_{2}&a_{3}&a_{4}&a_{5}&a_{6}&a_{7}&a_{8}&a_{9}&a_{10}\\ \hline
\end{array}\]则 \((\qquad)\)
【难度】
【出处】
2016年清华大学自主招生暨领军计划试题
【标注】
【答案】
ABCD
【解析】
A选项，B选项和C选项显然正确．
若数列 $\left\{a_n\right\}$ 满足 $P\left(\xi \leqslant k\right)=k^2a_k (k=1,2,\cdots,10)$，则当 $k \geqslant 2$ 时，有\[a_k=k^2a_k-(k-1)^2a_{k-1},\]从而\[\dfrac{a_k}{a_{k-1}}=\dfrac{k-1}{k+1},\]因此\[a_k=\dfrac{2a_1}{k(k+1)}.\]又因为\[\sum_{i=1}^{10}a_i=a_1+2a_1\left(\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{11}\right)=1,\]所以 $a_1=\dfrac{11}{20}$．因此 $a_n=\dfrac{11}{10n(n+1)} \left(n\in \mathbb{N}^{*}\right)$，D选项正确．
若数列 $\left\{a_n\right\}$ 满足 $P\left(\xi \leqslant k\right)=k^2a_k (k=1,2,\cdots,10)$，则当 $k \geqslant 2$ 时，有\[a_k=k^2a_k-(k-1)^2a_{k-1},\]从而\[\dfrac{a_k}{a_{k-1}}=\dfrac{k-1}{k+1},\]因此\[a_k=\dfrac{2a_1}{k(k+1)}.\]又因为\[\sum_{i=1}^{10}a_i=a_1+2a_1\left(\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{11}\right)=1,\]所以 $a_1=\dfrac{11}{20}$．因此 $a_n=\dfrac{11}{10n(n+1)} \left(n\in \mathbb{N}^{*}\right)$，D选项正确．
题目
答案
解析
备注
