在直角三角形 $ ABC $ 中，点 $ D $ 是斜边 $ AB $ 的中点，点 $ P $ 为线段 $ CD $ 的中点，则 $ \dfrac{|PA|^2+|PB|^2}{|PC|^2}= $ \((\qquad)\)
【难度】
【出处】
2012年高考江西卷（理）
【标注】
【答案】
D
【解析】
如图：
设 $\overrightarrow {CA}=\overrightarrow {a}$，$\overrightarrow {CB}=\overrightarrow {b}$，则 $\overrightarrow {CD}=\dfrac 12 \overrightarrow a+\dfrac 12\overrightarrow b$，$\overrightarrow {CP}=\dfrac 14 \overrightarrow a+\dfrac 14\overrightarrow b$．于是\[\overrightarrow {PA}=\overrightarrow {CA}-\overrightarrow {CP}=\dfrac 34 \overrightarrow {a}-\dfrac 14\overrightarrow {b}.\]同理有\[\overrightarrow {PB}=\overrightarrow {CB}-\overrightarrow {CP}=-\dfrac 14 \overrightarrow {a}+\dfrac 34\overrightarrow {b}.\]于是\[\begin{split}\dfrac{|PA|^2+|PB|^2}{|PC|^2}=\dfrac{\left(\dfrac 34 \overrightarrow {a}-\dfrac 14\overrightarrow {b}\right)^2+\left(-\dfrac 14 \overrightarrow {a}+\dfrac 34\overrightarrow {b}\right)^2}{\left(\dfrac 14 \overrightarrow {a}+\dfrac 14\overrightarrow {b}\right)^2}=10.\end{split}\]于是得到 $ \dfrac{|PA|^2+|PB|^2}{|PC|^2}=10 $．
其他解法：
由于本题的答案唯一，故可用特殊的几何图形来求解，不妨设直角三角形为等腰直角三角形，其两直角边均为 $ 4 $，则斜边长为 $ 4{\sqrt{2}}$，如图：
则有\[|CD|=2{\sqrt{2}},|PA|=|PB|={\sqrt{10}},|PC|={\sqrt{2}} ,\]代入计算得到所求值为 $ 10 $．
设 $\overrightarrow {CA}=\overrightarrow {a}$，$\overrightarrow {CB}=\overrightarrow {b}$，则 $\overrightarrow {CD}=\dfrac 12 \overrightarrow a+\dfrac 12\overrightarrow b$，$\overrightarrow {CP}=\dfrac 14 \overrightarrow a+\dfrac 14\overrightarrow b$．于是\[\overrightarrow {PA}=\overrightarrow {CA}-\overrightarrow {CP}=\dfrac 34 \overrightarrow {a}-\dfrac 14\overrightarrow {b}.\]同理有\[\overrightarrow {PB}=\overrightarrow {CB}-\overrightarrow {CP}=-\dfrac 14 \overrightarrow {a}+\dfrac 34\overrightarrow {b}.\]于是\[\begin{split}\dfrac{|PA|^2+|PB|^2}{|PC|^2}=\dfrac{\left(\dfrac 34 \overrightarrow {a}-\dfrac 14\overrightarrow {b}\right)^2+\left(-\dfrac 14 \overrightarrow {a}+\dfrac 34\overrightarrow {b}\right)^2}{\left(\dfrac 14 \overrightarrow {a}+\dfrac 14\overrightarrow {b}\right)^2}=10.\end{split}\]于是得到 $ \dfrac{|PA|^2+|PB|^2}{|PC|^2}=10 $．其他解法：
由于本题的答案唯一，故可用特殊的几何图形来求解，不妨设直角三角形为等腰直角三角形，其两直角边均为 $ 4 $，则斜边长为 $ 4{\sqrt{2}}$，如图：
则有\[|CD|=2{\sqrt{2}},|PA|=|PB|={\sqrt{10}},|PC|={\sqrt{2}} ,\]代入计算得到所求值为 $ 10 $．
题目
答案
解析
备注
