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函数 $y=\sin x+\cos2x$ 的值域是 \((\qquad)\)
A: $[-2,0]$
B: $\left[-\dfrac98,\dfrac98\right]$
C: $\left[-2,\dfrac98\right]$
D: $[-2,2]$
【难度】
【出处】
2016年第二十七届“希望杯”全国数学邀请赛高二（一试）
【标注】
  • 知识点
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    函数
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    常见初等函数
    >
    三角函数
  • 知识点
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    函数
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    函数的图象与性质
    >
    函数的最值和值域
  • 知识点
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    三角
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    三角恒等变换
    >
    二倍角公式
【答案】
C
【解析】
利用二倍角公式，可得\[\begin{split}y&=\sin x+\cos2x\\&=-2\sin^2x+\sin x+1\\&=-2\left(\sin x-\dfrac14\right)^2+\dfrac98,\end{split}\]再结合 $\sin x\in[-1,1]$，则函数 $y=\sin x+\cos2x$ 的值域是 $\left[-2,\dfrac98\right]$．
题目 答案 解析 备注
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