已知 $ABCD-A_1B_1C_1D_1$ 是棱长为 $1$ 的正方体，点 $O_1$ 是底面 $A_1B_1C_1D_1$ 的中心，点 $M$ 是棱 $BB_1$ 上一点，且 $S_{\triangle DBM}:S_{\triangle O_1B_1M}=2:3$，则四面体 $O_1ADM$ 的体积为 \((\qquad)\)
【难度】
【出处】
2016年第二十七届“希望杯”全国数学邀请赛高二（一试）
【标注】
【答案】
C
【解析】
如图，
根据题意，有\[\dfrac{\triangle DBM}{\triangle O_1B_1M}=\dfrac{BD\cdot BM}{O_1B_1\cdot MB_1}=2\cdot \dfrac{BM}{MB_1}=\dfrac 23,\]记矩形 $BDD_1B_1$ 的面积为 $S$，则\[\triangle DBM=\dfrac 18S,\triangle O_1B_1M=\dfrac{3}{16}S,\triangle O_1DD_1=\dfrac 14S,\]因此\[\triangle O_1DM=\dfrac 7{16}S,\]于是\[A-O_1DM=\dfrac 72\cdot A-DBM=\dfrac 72\cdot M-ADB=\dfrac 72\cdot \dfrac 13\cdot \dfrac 14\cdot \dfrac 12=\dfrac 7{48}.\]
根据题意，有\[\dfrac{\triangle DBM}{\triangle O_1B_1M}=\dfrac{BD\cdot BM}{O_1B_1\cdot MB_1}=2\cdot \dfrac{BM}{MB_1}=\dfrac 23,\]记矩形 $BDD_1B_1$ 的面积为 $S$，则\[\triangle DBM=\dfrac 18S,\triangle O_1B_1M=\dfrac{3}{16}S,\triangle O_1DD_1=\dfrac 14S,\]因此\[\triangle O_1DM=\dfrac 7{16}S,\]于是\[A-O_1DM=\dfrac 72\cdot A-DBM=\dfrac 72\cdot M-ADB=\dfrac 72\cdot \dfrac 13\cdot \dfrac 14\cdot \dfrac 12=\dfrac 7{48}.\]
题目
答案
解析
备注
