各项均为正整数的数列 $\left\{a_n\right\}$，满足 $a_{n+1}=a_n+b_n$，其中 $b_n$ 是 $a_n$ 的末位数字，下列关于数列 $\left\{a_n\right\}$ 的说法正确的是 \((\qquad)\)
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
D
【解析】
对 $A$：
如果 $a_1$ 是 $5$ 的倍数，那么 $\{b_n\}$ 为 $0,0,0,\cdots$ 或 $5,0,0,\cdots$．
因为 $2$ 的方幂不可能以 $5$ 或 $0$ 结尾，因此 $\{a_n\}$ 中的任何一项都不在数列 $\{2^n\}$ 中．
对 $B,C,D$：
如果 $a_1$ 不是 $5$ 的倍数，那么 $\{b_n\}$ 从第二项起必然进入 $2,4,8,6,2,4,8,6,\cdots$ 的循环（进入时的数字和 $b_1$ 有关），必然存在 $a_m=4k$，其中 $k\in\mathbb N^*$．
此时取与 $2k$ 尾数相同的 $2$ 的方幂，设为 $2^p$，则有\[2^p=10q+2k,\]其中 $p,q\in\mathbb N^*$，这样就有\[a_m=4k=2^{p+1}-20q,\]也就是说 $a_m$ 经过 $q$ 轮 $+2+4+8+6$ 后必然得到 $2^{p+1}$．
由于符合要求的 $p$ 有无穷多个，因此数列 $\left\{a_n\right\}$ 与数列 $\left\{2^n\right\}$ 有无穷多个相同的项．
如果 $a_1$ 是 $5$ 的倍数，那么 $\{b_n\}$ 为 $0,0,0,\cdots$ 或 $5,0,0,\cdots$．
因为 $2$ 的方幂不可能以 $5$ 或 $0$ 结尾，因此 $\{a_n\}$ 中的任何一项都不在数列 $\{2^n\}$ 中．
对 $B,C,D$：
如果 $a_1$ 不是 $5$ 的倍数，那么 $\{b_n\}$ 从第二项起必然进入 $2,4,8,6,2,4,8,6,\cdots$ 的循环（进入时的数字和 $b_1$ 有关），必然存在 $a_m=4k$，其中 $k\in\mathbb N^*$．
此时取与 $2k$ 尾数相同的 $2$ 的方幂，设为 $2^p$，则有\[2^p=10q+2k,\]其中 $p,q\in\mathbb N^*$，这样就有\[a_m=4k=2^{p+1}-20q,\]也就是说 $a_m$ 经过 $q$ 轮 $+2+4+8+6$ 后必然得到 $2^{p+1}$．
由于符合要求的 $p$ 有无穷多个，因此数列 $\left\{a_n\right\}$ 与数列 $\left\{2^n\right\}$ 有无穷多个相同的项．
题目
答案
解析
备注
