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如图，$ABCD-GHEF$ 是棱长为 $a$ 的正方体，点 $M$ 和 $N$ 分别是 $\triangle{BEH}$ 和 $\triangle{HEG}$ 的内心，则线段 $MN$ 的长是 \((\qquad)\)
A: $\dfrac 12 a$
B: $\dfrac 25 a$
C: $\left(\sqrt 2 -1\right)a$
D: $\left(2-\sqrt 2\right)a$
【难度】
【出处】
2013年第二十四届“希望杯”全国数学邀请赛高一（一试）
【标注】
【答案】
C
【解析】
设 $\triangle{BHE}$ 内切圆的半径为 $r$，则 $M$ 为圆心，所以$$HP=\left(\sqrt 2+1\right)r=\dfrac{\sqrt 2a}{2},$$所以$$r=\dfrac{a}{2+\sqrt 2},$$所以$$MN=\sqrt 2 r=\left(\sqrt 2-1\right)a.$$
题目 答案 解析 备注
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