已知函数 $f_n(x)=\underbrace{f\cdots f(f(x))}_{n\text{个}f}$，$n$ 为正整数．若 $f(x)=\begin{cases}2(1-x),&0\leqslant x\leqslant 1,\\ x-1,&1<x\leqslant 2,\end{cases}$ 则 $f_{2013}\left(\dfrac 45\right)=$ \((\qquad)\)
【难度】
【出处】
2013年第二十四届“希望杯”全国数学邀请赛高一（二试）
【标注】
【答案】
C
【解析】
因为\[\begin{split}&f\left(\dfrac 45\right)=\dfrac 25,\\ &f_2\left(\dfrac 45\right)=f\left(\dfrac 25\right)=\dfrac 65,\\&f_3\left(\dfrac 45\right)=f\left(\dfrac 65\right)=\dfrac 15,\\&f_4\left(\dfrac 45\right)=f\left(\dfrac 15\right)=\dfrac 85,\\&f_5\left(\dfrac 45\right)=f\left(\dfrac 85\right)=\dfrac 35,\\&f_6\left(\dfrac 45\right)=f\left(\dfrac 35\right)=\dfrac 45,\\&f_7\left(\dfrac 45\right)=f\left(\dfrac 45\right)=\dfrac 25.\end{split}\]所以 $f_n\left(\dfrac 45\right)$ 的周期为 $6$，所以$$f_{2013}\left(\dfrac 45\right)=f_3\left(\dfrac 45\right)=\dfrac 15.$$
题目
答案
解析
备注
