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将 $f(x)=\dfrac{x}{9+x^2}$ 在 $x=0$ 处展开的结果是 \((\qquad)\)
A: $\displaystyle \sum_{n=0}^{+\infty}\dfrac{x^{2n+1}}{3^{2n}}$
B: $\displaystyle \sum_{n=0}^{+\infty}\dfrac{(-1)^nx^{2n+1}}{3^{2n+2}}$
C: $\displaystyle \sum_{n=0}^{+\infty}\dfrac{(-1)^nx^{2n+1}}{3^{2n}}$
D: $\displaystyle \sum_{n=0}^{+\infty}\dfrac{x^{2n+1}}{3^{2n+2}}$
【难度】
【出处】
无
【标注】
  • 知识点
    >
    微积分初步
    >
    微积分补充知识
    >
    泰勒展开
【答案】
B
【解析】
根据题意，有\[f(x)=\dfrac x9\cdot \dfrac{1}{1+\left(\dfrac x3\right)^2}.\]而\[\dfrac 1{1+x}=\sum_{n=0}^{+\infty}(-x)^n,\]因此\[f(x)=\dfrac x9\cdot \sum_{n=0}^{+\infty}\left(-\dfrac {x^2}9\right)^n= \sum_{n=0}^{+\infty}\dfrac{(-1)^nx^{2n+1}}{3^{2n+2}} .\]
题目 答案 解析 备注
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