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设 $f\left( x \right) =\begin{cases}
{\left({x - a}\right)^2},&x \leqslant 0, \\
x + \dfrac{1}{x}+ a,&x > 0, \\
\end{cases}$ 若 $f\left( 0 \right)$ 是 $f\left( x \right)$ 的最小值，则 $a$ 的取值可以为 \((\qquad)\)
A: $- 1$
B: $0$
C: $1$
D: $2$
【难度】
【出处】
无
【标注】
  • 知识点
    >
    函数
    >
    分段函数
  • 知识点
    >
    函数
    >
    函数的图象与性质
    >
    函数的最值和值域
【答案】
BCD
【解析】
情形一 $a<0$．此时 $f(a)=0<f(0)$，不符合题意；
情形二 $a\geqslant 0$．此时在 $x\leqslant 0$ 的部分，函数 $f(x)$ 在 $x=0$ 处取得最小值为 $a^2$．在 $x>0$ 的部分，函数 $f(x)$ 在 $x=1$ 处取得最小值为 $2+a$．因此只需要$$a^2\leqslant 2+a,$$解得$$-1\leqslant a\leqslant 2,$$因此 $0\leqslant a\leqslant 2$．
综上所述，$a$ 的取值范围是 $[0,2]$．
题目 答案 解析 备注
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