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已知函数 $f(x)=\sin(2x+\varphi)$，其中 $\varphi\in\left(0,\dfrac{\pi}{2}\right)$，若 $f(x)\leqslant \left|f\left(\dfrac{\pi}{6}\right)\right|$ 对于 $x\in \mathbb R$ 恒成立，则 $f(x)$ 的单调递增区间是 \((\qquad)\)
A: $\left[k\pi-\dfrac{\pi}{3},k\pi+\dfrac{\pi}{6}\right]$（$k\in \mathbb Z$）
B: $\left[k\pi-\dfrac{\pi}{3},k\pi+\dfrac{2\pi}{3}\right]$（$k\in\mathbb Z$）
C: $\left[k\pi+\dfrac{\pi}{3},k\pi+\dfrac{2\pi}{3}\right]$（$k\in\mathbb Z$）
D: $\left[k\pi,k\pi+\dfrac{2\pi}{3}\right]$（$k\in\mathbb Z$）
【难度】
【出处】
2016年第二十七届“希望杯”全国数学邀请赛高一（一试）
【标注】
  • 知识点
    >
    函数
    >
    常见初等函数
    >
    三角函数
  • 知识点
    >
    函数
    >
    函数的图象与性质
    >
    函数的最值和值域
  • 知识点
    >
    函数
    >
    函数的图象与性质
    >
    函数的单调性
【答案】
A
【解析】
根据题意，可知 $x=\dfrac{\pi}6$ 是函数 $f(x)$ 的对称轴．考虑到 $\varphi$ 是锐角，因此 $\varphi=\dfrac{\pi}6$，因此 $x=\dfrac{\pi}6$ 是函数 $f(x)$ 的最大值点．又 $f(x)$ 的周期为 $\pi$，因此其单调递增区间为\[\left[k\pi-\dfrac{\pi}3,k\pi+\dfrac{\pi}6\right],k\in\mathbb Z.\]
题目 答案 解析 备注
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