数列 $\{a_n\}$ 中，$a_1=1$，当 $n\geqslant 2$ 时，前 $n$ 项和 $S_n=n^2-1$，则 $\dfrac 12a_n^2-2n+\dfrac 92$（$n\in\mathbb N^*$）的最小值是 \((\qquad)\)
【难度】
【出处】
2016年第二十七届“希望杯”全国数学邀请赛高一（一试）
【标注】
【答案】
B
【解析】
根据题意可得\[a_n=\begin{cases} 1,&n=1,\\
2,&n=2,\\
2n-1,&n\geqslant 3,\end{cases}\]因此\[\dfrac 12a_n^2-2n+\dfrac 92=\begin{cases} 3,&n=1,\\ \dfrac 52,&n=2,\\ 2n^2-4n+5,&n\geqslant 3,\end{cases}\]进而所求代数式的最小值为 $\dfrac 52$．
2,&n=2,\\
2n-1,&n\geqslant 3,\end{cases}\]因此\[\dfrac 12a_n^2-2n+\dfrac 92=\begin{cases} 3,&n=1,\\ \dfrac 52,&n=2,\\ 2n^2-4n+5,&n\geqslant 3,\end{cases}\]进而所求代数式的最小值为 $\dfrac 52$．
题目
答案
解析
备注
