直线 $3ax-2by-3=0$（$a,b>0$）与曲线 $x^2+y^2-2x+6y+1=0$ 相交于 $A,B$ 两点，若 $AB=6$，则 $\dfrac1a+\dfrac1b$ 的最小值是 \((\qquad)\)
【难度】
【出处】
2013年第二十四届“希望杯”全国数学邀请赛高二（二试）
【标注】
【答案】
D
【解析】
由题可知直线经过圆心 $(1,-3)$，即$$a+2b=1,$$再结合 $a,b>0$，则$$\dfrac1a+\dfrac1b=(a+2b)\left(\dfrac1a+\dfrac1b\right)=\dfrac{a}{b}+\dfrac{2b}{a}+3\geqslant3+2\sqrt2,$$当且仅当 $a=\sqrt2-1,b=1-\dfrac{\sqrt2}{2}$ 时，取得等号，因此 $\dfrac1a+\dfrac1b$ 的最小值为 $3+2\sqrt2$．
题目
答案
解析
备注
