已知集合 $A=\{(x,y)\mid y=-x^2\}$，$B=\{(x,y)\mid (x-5)^2+(y-1)^2=4\}$，$M\in A,N\in B$，则 $|MN|_{\min}=$ \((\qquad)\)
【难度】
【出处】
2013年第二十四届“希望杯”全国数学邀请赛高二（二试）
【标注】
【答案】
A
【解析】
如图，设圆心为 $P(5,1)$，$M\left(x,-x^2\right)$，则$$|PM|^2=(5-x)^2+(1+x^2)^2=x^4+3x^2-10x+26,$$令 $f(x)=x^4+3x^2-10x+26$，求导得$$f'(x)=4x^3+6x-10=2(x^2+2x+5)(x-1),$$因此函数 $f(x)$ 的小值为 $f(1)=20$，再结合$$|MN|\geqslant|PM|-2=2\sqrt5-2,$$当 $P,M,N$ 三点共线时，等号成立．故 $|MN|$ 的最小值为 $2\sqrt5-2$．
题目
答案
解析
备注
