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若 $\sin2\theta$ 和 $\cos4\theta$ 是函数 $f(x)=x^2-2a^2-4a-3$ 的两个零点，则 $\theta$ 的值是  \((\qquad)\)
A: $\dfrac12k\pi+\dfrac{\pi}{4}(k\in\mathbb Z)$
B: $2k\pi+\dfrac{3\pi}{4}(k\in\mathbb Z)$
C: $\dfrac14k\pi+\dfrac{3\pi}{8}(k\in\mathbb Z)$
D: $k\pi+\dfrac{\pi}{4}(k\in\mathbb Z)$
【难度】
【出处】
2013年第二十四届“希望杯”全国数学邀请赛高二（一试）
【标注】
【答案】
D
【解析】
设函数 $f(x)$ 的零点为 $t$，则$$|t|=\sqrt{2a^2+4a+3}=\sqrt{2(a+1)^2+1}\geqslant1,$$因此$$\begin{cases}\sin2\theta+\cos4\theta=0,\\|\sin2\theta|=|\cos4\theta|=1,\end{cases}$$解得 $\theta$ 的值是 $k\pi+\dfrac{\pi}{4}$（$k\in\mathbb Z$）．
题目 答案 解析 备注
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