已知平面直角坐标系内的点 $A(1,2)$ 和 $B(-2,4)$，及坐标原点 $O$，若点 $P$ 满足 $\overrightarrow{OP}=m\overrightarrow{OA}+n\overrightarrow{OB}$，其中 $m,n\in\mathbb R$，并且 $m^2-4m^2=1$，则点 $P$ 的轨迹方程是 \((\qquad)\)
【难度】
【出处】
2013年第二十四届“希望杯”全国数学邀请赛高二（一试）
【标注】
【答案】
D
【解析】
设点 $P(x,y)$，则依据题中条件有$$(x,y)=(m-2n,2m+4n),$$整理解得$$(m,n)=\left(\dfrac{2x+y}{4},\dfrac{-2x+y}{8}\right),$$代入 $m^2-4n^2=1$，整理得点 $P$ 的轨迹方程是 $xy=2$．
题目
答案
解析
备注
