三棱锥 $S-ABC$ 的底面 $ABC$ 是正三角形，侧棱长都是 $1$，则此棱锥的体积的最大值是 \((\qquad)\)
【难度】
【出处】
2013年第二十四届“希望杯”全国数学邀请赛高二（一试）
【标注】
【答案】
D
【解析】
过点 $S$ 作 $SO$ 垂直于面 $ABC$ 于点 $O$，连接 $CO$，并延长交 $AB$ 于点 $D$，如图．
由题可知，三棱锥 $S-ABC$ 是正三棱锥，则 $D$ 为 $AB$ 中点，设 $AB=a$，则有$$SO=\sqrt{SC^2-CO^2}=\sqrt{1-\dfrac{a^2}{3}},$$设三棱锥 $S-ABC$ 的体积为 $V$，则\[\begin{split}V&=\dfrac13\cdot S_{\triangle ABC}\cdot SO\\&=\dfrac{1}{12\sqrt2}\cdot\sqrt{a^2\cdot a^2\cdot(6-2a^2)}\\&\leqslant\dfrac{1}{12\sqrt2}\cdot\sqrt{\left(\dfrac{a^2+a^2+6-2a^2}{3}\right)^3}\\&=\dfrac16.\end{split}\]当且仅当 $a=\sqrt2$ 时，等号成立，因此三棱锥体积的最大值是 $\dfrac16$．
由题可知，三棱锥 $S-ABC$ 是正三棱锥，则 $D$ 为 $AB$ 中点，设 $AB=a$，则有$$SO=\sqrt{SC^2-CO^2}=\sqrt{1-\dfrac{a^2}{3}},$$设三棱锥 $S-ABC$ 的体积为 $V$，则\[\begin{split}V&=\dfrac13\cdot S_{\triangle ABC}\cdot SO\\&=\dfrac{1}{12\sqrt2}\cdot\sqrt{a^2\cdot a^2\cdot(6-2a^2)}\\&\leqslant\dfrac{1}{12\sqrt2}\cdot\sqrt{\left(\dfrac{a^2+a^2+6-2a^2}{3}\right)^3}\\&=\dfrac16.\end{split}\]当且仅当 $a=\sqrt2$ 时，等号成立，因此三棱锥体积的最大值是 $\dfrac16$．
题目
答案
解析
备注
