设 $f(x)$ 是定义在 $(0,1)$ 上的函数，对任意的 $y>x>1$ 都有 $f\left(\dfrac{y-x}{xy-1}\right)=f\left(\dfrac1x\right)-f\left(\dfrac1y\right)$，记 $a_n=f\left(\dfrac{1}{n^2+5n+5}\right)$，其中 $n\in\mathbb N^*$，则 $\displaystyle \sum\limits_{i=1}^{8}{a_i}=$ \((\qquad)\)
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
C
【解析】
利用题中递推式，将 $a_n$ 变形，即$$a_n=f\left(\dfrac{1}{n^2+5n+5}\right)=f\left(\dfrac{(n+3)-(n+2)}{(n+2)(n+3)-1}\right)=f\left(\dfrac{1}{n+2}\right)-f\left(\dfrac{1}{n+3}\right),$$因此，有$$\displaystyle \sum\limits_{i=1}^{8}{a_i}=f\left(\dfrac13\right)-f\left(\dfrac{1}{11}\right),$$注意到\[a_1=f\left(\dfrac{1}{11}\right)=f\left(\dfrac13\right)-f\left(\dfrac14\right),\]因此所求代数式的值为 $f\left(\dfrac14\right)$．
题目
答案
解析
备注
