已知 $\overrightarrow{m},\overrightarrow{n}$ 为两非零向量，且 $\left|\overrightarrow m\right|=2,\left|\overrightarrow m+2\overrightarrow n\right|=2$，则 $\left|\overrightarrow n\right|+\left|2\overrightarrow m+\overrightarrow n\right|$ 的最大值为 \((\qquad)\) ．
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
D
【解析】
根据题意设$$\begin{cases} \overrightarrow a=\left(1,0\right)=\dfrac12\overrightarrow m,\\ \overrightarrow b=\left(\cos\alpha,\sin\alpha\right)=\dfrac12\left(\overrightarrow m+2\overrightarrow n\right).\end{cases}$$记所求表达式为 $M$，则$$\begin{split} M&=\left|\overrightarrow a-\overrightarrow b\right|+\left|3\overrightarrow a+\overrightarrow b\right|\\&=\sqrt{2}\cdot\sqrt{1-\cos\alpha}+\sqrt6\cdot\sqrt{\dfrac53+\cos\alpha}\\&\leqslant\sqrt{2+6}\cdot\sqrt{\dfrac53}\\&=\dfrac{8\sqrt3}{3}.\end{split}$$当且仅当 $\cos\alpha=\dfrac73-\dfrac{4\sqrt3}{3}$ 时 $M$ 取得最大值 $\dfrac{8\sqrt3}{3}$．故正确选项为 $D$．
题目
答案
解析
备注
