由于\[\left(a-\dfrac 1b\right)\left(b-\dfrac 1c\right)\left(c-\dfrac 1a\right)=abc-a-b-c+\dfrac 1a+\dfrac 1b+\dfrac 1c-\dfrac{1}{abc}\]是正整数，因此\[m=\dfrac 1a+\dfrac 1b+\dfrac 1c-\dfrac{1}{abc}\]是正整数．接下来探索所有可能的解，不妨先假设 $a\leqslant b\leqslant c$．
显然 $a\leqslant 2$，否则 $m<1$，不符合题意．于是 $a=1,2$．
情形一 $a=1$．此时 $b\geqslant 2$，否则 $a-\dfrac 1b=0$，不符合题意．因此\[0<\dfrac 1b+\dfrac 1c-\dfrac{1}{bc}<1,\]于是 $m$ 不可能为正整数．
情形二 $a=2$．此时\[0<\dfrac 1a+\dfrac 1b+\dfrac 1c-\dfrac{1}{abc}<2,\]于是 $m=1$，因此\[\dfrac 1b+\dfrac 1c-\dfrac{1}{2bc}=\dfrac 12,\]即\[(b-2)(c-2)=3,\]解得 $(b,c)=(3,5)$．
综上所述，符合题意的解为 $\{a,b,c\}=\{2,3,5\}$，由排序不等式可知 $2a+3b+5c$ 的最大值与最小值分别为 $38$ 与 $29$，故所求差为 $9$．