$O$ 是凸四边形 $ABCD$ 对角线 $AC$ 和 $BD$ 的交点．已知三角形 $AOB,BOC,COD,DOA$ 的周长相同，三角形 $AOB,BOC,COD$ 的内切圆半径分别为 $3,4,6$，则三角形 $DOA$ 的内切圆半径为 \((\qquad)\)
【难度】
【出处】
2017年北京大学博雅计划数学试题
【标注】
【答案】
A
【解析】
注意到三角形的面积 $S$，周长 $l$，内切圆半径 $r$ 之间满足 $2S=lr$，故\[
\dfrac{r_{\triangle DOA}}{r_{\triangle AOB}}=
\dfrac{S_{\triangle DOA}}{S_{\triangle AOB}}=
\dfrac{OD}{OB}=
\dfrac{S_{\triangle COD}}{S_{\triangle BOC}}=
\dfrac{r_{\triangle COD}}{r_{\triangle BOC}},
\]故 $r_{\triangle DOA}=\dfrac{9}{2}$．
易知满足题意的凸四边形 $ABCD$ 存在，所以三角形 $DOA$ 的内切圆半径为 $\dfrac{9}{2}$．
\dfrac{r_{\triangle DOA}}{r_{\triangle AOB}}=
\dfrac{S_{\triangle DOA}}{S_{\triangle AOB}}=
\dfrac{OD}{OB}=
\dfrac{S_{\triangle COD}}{S_{\triangle BOC}}=
\dfrac{r_{\triangle COD}}{r_{\triangle BOC}},
\]故 $r_{\triangle DOA}=\dfrac{9}{2}$．
易知满足题意的凸四边形 $ABCD$ 存在，所以三角形 $DOA$ 的内切圆半径为 $\dfrac{9}{2}$．
题目
答案
解析
备注
