整数 $a,b,c$ 满足 $a+b+c=1$，$s=(a+bc)(b+ac)(c+ab)>100$，则 $s$ 的最小值属于下面哪个区间？ \((\qquad)\)
【难度】
【出处】
2017年北京大学博雅计划数学试题
【标注】
【答案】
D
【解析】
根据题意，有\[\begin{split}s&=\prod_{cyc}(a+bc)\\
&=\prod_{cyc}(a^2+ab+ac+bc)\\
&=\prod_{cyc}(a+b)(a+c)\\
&=[(a+b)(b+c)(c+a)]^2,\end{split}\]根据题意，有\[\left|(a+b)(b+c)(c+a)\right|\geqslant 11,\]由于 $11$ 是质数，只能对应分解为 $1\cdot 1\cdot 11$，与\[(a+b)+(b+c)+(c+a)=2\]矛盾．因此\[\left|(a+b)(b+c)(c+a)\right|\geqslant 12,\]又\[(a+b,b+c,c+a)=(1,4,-3)\]即\[(a,b,c)=(-3,4,0)\]时上述不等式能够取得等号，因此 $s$ 的最小值为 $144$．
&=\prod_{cyc}(a^2+ab+ac+bc)\\
&=\prod_{cyc}(a+b)(a+c)\\
&=[(a+b)(b+c)(c+a)]^2,\end{split}\]根据题意，有\[\left|(a+b)(b+c)(c+a)\right|\geqslant 11,\]由于 $11$ 是质数，只能对应分解为 $1\cdot 1\cdot 11$，与\[(a+b)+(b+c)+(c+a)=2\]矛盾．因此\[\left|(a+b)(b+c)(c+a)\right|\geqslant 12,\]又\[(a+b,b+c,c+a)=(1,4,-3)\]即\[(a,b,c)=(-3,4,0)\]时上述不等式能够取得等号，因此 $s$ 的最小值为 $144$．
题目
答案
解析
备注
