解法一 记 $\sin^2x=m$，$\sin^2y=n$，则\[\tan^2x=\dfrac{m}{1-m},\tan^2y=\dfrac{n}{1-n},\]于是题中等式即\[\dfrac{\dfrac{m}{1-m}+\dfrac{n}{1-n}}{1+\dfrac{m}{1-m}+\dfrac{n}{1-n}}=m+n,\]也即\[\dfrac{m+n-2mn}{1-mn}=m+n,\]整理得\[mn(m+n-2)=0,\]于是 $m=0$ 或 $n=0$ 或 $m+n=2$．
若 $m+n=2$，则 $\sin^2x=\sin^2y=1$，不符合题意．因此 $\sin x=0$ 或 $\sin y=0$，于是\[\sin x\cdot \sin y=0.\]解法二 令 $a=\tan^2x \geqslant 0$，$b=\tan^2y \geqslant 0$，由题意，\[
\dfrac{a+b}{1+a+b}=\dfrac{a}{1+a}+\dfrac{b}{1+b}\geqslant\dfrac{a}{1+a+b}+\dfrac{b}{1+a+b}=\dfrac{a+b}{1+a+b},
\]故 $a=0$ 或 $b=0$，进而有\[\sin x\cdot \sin y=0.\]