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$\{a_n\}$ 是公比不为 $1$ 的等比数列，$S_n$ 是 $\{a_n\}$ 的前 $n$ 项和．给出下面 $3$ 个命题：
① 若 $\{a_n\}$ 中既有正数，又有负数，那么 $\{S_n\}$ 中也既有正数，又有负数；
② $\{a_n\}$ 不可能同时具有最大值和最小值；
③ $S_{10},S_{20}-S_{10},S_{30}-S_{20},\cdots $ 构成等比数列．
其中，真命题的个数是 \((\qquad)\)
A: $0$
B: $1$
C: $2$
D: $3$
【难度】
【出处】
2012年第二十三届“希望杯”全国数学邀请赛高一（二试）
【标注】
【答案】
A
【解析】
取 $\{a_n\}$：$1,-1,1,-1,\cdots$，则：
$S_n=0\lor 1$，（1）不正确；
$a_n$ 最大值为 $1$，最小值为 $-1$，（2）不正确；
$S_{10}=0$，故 $S_{10},S_{20}-S_{10},S_{30}-S_{20},\cdots $ 不能构成等比数列，（3）不正确．
题目 答案 解析 备注
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