一个篮球运动员进行投球练习，若他投进前 $1$ 球，则投进后一球概率为 $\dfrac{2}{3}$；若他投不进前一球，则投进后一球的概率为 $\dfrac{1}{3}$，已知他投进第 $1$ 球的概率为 $\dfrac{2}{3}$，他投进第 $4$ 球概率为 $\frac{m}{n}$，其中 $m, n$ 是互质的正整数．则 $m+n=$ ．
【难度】
【出处】
2015年全国高中数学联赛河南省预赛
【标注】
【答案】
$122$
【解析】
设他投进第 $(n-1)$ 个球的概率为 $a_{n-1}$，投失的概率为 $1 - a_{n-1}$，则他投进第 $n$ 个球的概率为$$a_{n} = \dfrac{2}{3} a_{n-1} + \dfrac{1}{3} (1 - a_{n-1}) = \dfrac{1}{3} + \dfrac{1}{3}a_{n-1},$$即$$a_{n} - \dfrac{1}{2} = \dfrac{1}{3} \left(a_{n-1} - \dfrac{1}{2}\right),$$从而有\[\begin{split} a_{n} - \dfrac{1}{2} &= \dfrac{a_{n} - \dfrac{1}{2}}{a_{n-1} - \dfrac{1}{2}} \cdots \dfrac{a_{2} - \dfrac{1}{2}}{a_{1} - \dfrac{1}{2}}\left(a_{1} - \dfrac{1}{2}\right) \\ &=\left (\dfrac{1}{3} \right)^{n-1} \cdot \dfrac{1}{6} \\ &=\dfrac{1}{2} \cdot \left (\dfrac{1}{3} \right)^{n} . \end{split}\]所以，$ a_{n} =\dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{2}\cdot \dfrac{1}{3^n}(n \geqslant 2)$，而 $a_{1} = \dfrac{2}{3}$，所以 $a_{n} = \dfrac{1}{2} \left(1+\dfrac{1}{3^n} \right)$，因此，$$a_{4} = \dfrac{1}{2}\left(1+\dfrac{1}{3^4}\right) = \dfrac{41}{81}.$$
题目
答案
解析
备注
