已知 $O$ 是坐标原点，动点 $M$ 在圆 $C:(x-4)^2+y^2=4$ 上，对该坐标平面内的点 $N$ 和 $P$，若 $2\overrightarrow{ON}+\overrightarrow{OM}=\overrightarrow{MC}+\overrightarrow{MP}=\overrightarrow{0}$，则 $\left|\overrightarrow{NP}\right|$ 的取值范围是 \((\qquad)\)
【难度】
【出处】
2012年第二十三届“希望杯”全国数学邀请赛高一（二试）
【标注】
【答案】
B
【解析】
设 $M(x_0,y_0)$，则$$(x_0-4)^2+y_0^2=4.$$因为$$2\overrightarrow{ON}+\overrightarrow{OM}=\overrightarrow{MC}+\overrightarrow{MP}=\overrightarrow{0},$$所以$$N\left(-\dfrac 12 x_0,-\dfrac 12 y_0\right),P(2x_0-4,2y_0).$$故可得\[\begin{split}\left|\overrightarrow{NP}\right|&=\sqrt{\left(\dfrac 52 x_0-4\right)^2+\left(\dfrac 52 y_0\right)^2}\\&=\sqrt{30x_0-59},\end{split}\]结合 $2\leqslant x_0\leqslant 6$ 可得$$1\leqslant \left|\overrightarrow{NP}\right|\leqslant 11.$$
题目
答案
解析
备注
