已知集合 $A=\left\{a\mid{\text{关于}}x{\text{的方程}}\dfrac{2x+a}{4x^2-9}=1{\text{有唯一实数解}}\right\}$，则集合 $A$ 的真子集的个数是 \((\qquad)\)
【难度】
【出处】
2012年第二十三届“希望杯”全国数学邀请赛高一（二试）
【标注】
【答案】
C
【解析】
因为$$\dfrac{2x+a}{4x^2-9}=1\Leftrightarrow a=4x^2-2x-9\land x\ne \pm\dfrac{3}{2}.$$所以若方程$$\dfrac{2x+a}{ax^2-9}=1$$有唯一解，则直线 $y=a$ 与函数 $y=4x^2-2x-9$ $(x\ne \pm \dfrac 32)$ 的图象有唯一交点，所以$$a=\pm 3\lor -\dfrac{37}{4},$$进一步知集合 $A$ 有 $7$ 个真子集．
题目
答案
解析
备注
