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已知 $x>0,A={\log_3}\left(1+\sqrt{x}\right)$，$B={\log_4}x$，则 $A$ 和 $B$ 的大小关系是  \((\qquad)\)
A: $A>B$
B: $A=B$
C: $A<B$
D: 随 $x$ 的值而定
【难度】
【出处】
2012年第二十三届“希望杯”全国数学邀请赛高二（一试）
【标注】
【答案】
D
【解析】
根据题意做差，得$$B-A={\log_4}x-{\log_3}\left(1+\sqrt{x}\right),$$令右边式子为 $f(x)$，求导得$$f'(x)=\dfrac{2\cdot\sqrt{x}\cdot\ln3+x\cdot\ln\dfrac94}{2x\left(\sqrt{x}+x\right)\cdot\ln3\cdot\ln4}>0,$$故函数 $f(x)$ 单调递增，又 $f(4)=0$，所以 $A,B$ 的大小随 $x$ 的值而定．
题目 答案 解析 备注
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