已知正三棱柱 $ABC-A_1B_1C_1$ 中，$AA_1=a,AB=2a$，$M,N,E$ 分别是 $AB,AC,A_1B_1$ 的中点，那么平面 $BCE$ 与平面 $MNE$ 所成二面角的余弦值是 \((\qquad)\) 
【难度】
【出处】
2012年第二十三届“希望杯”全国数学邀请赛高二（一试）
【标注】
【答案】
D
【解析】
由题可知$$MN\parallel BC,ME\parallel BB_1,MN\cap ME=M,$$因此，$MNE\parallel BB_1C_1C$，故题意即求 $BCE$ 与 $BCC_1B_1$ 所成角，如图．
取 $B_1C_1$ 中点记为 $F$，$BC$ 中点记为 $G$，连接 $EF,EG,FG$，则 $\angle EGF$ 记为所求二面角的平面角，结合$$\cos\angle EGF=\dfrac{FG}{EG}=\dfrac{2}{\sqrt7}=\dfrac{2\sqrt7}{7},$$因此，平面 $BCE$ 与平面 $MNE$ 所成二面角的余弦值是 $\dfrac{2\sqrt7}{7}$．
取 $B_1C_1$ 中点记为 $F$，$BC$ 中点记为 $G$，连接 $EF,EG,FG$，则 $\angle EGF$ 记为所求二面角的平面角，结合$$\cos\angle EGF=\dfrac{FG}{EG}=\dfrac{2}{\sqrt7}=\dfrac{2\sqrt7}{7},$$因此，平面 $BCE$ 与平面 $MNE$ 所成二面角的余弦值是 $\dfrac{2\sqrt7}{7}$．
题目
答案
解析
备注
