椭圆 $x^2+\dfrac{y^2}{4}=1$ 的内接正方形的面积和内接矩形的最大面积的比等于 \((\qquad)\)
【难度】
【出处】
2012年第二十三届“希望杯”全国数学邀请赛高二（一试）
【标注】
【答案】
B
【解析】
根据椭圆的对称性，其内接矩形的四个顶点分别在四个象限，设第一象限的顶点坐标为 $(x,y)$，则$$S=4xy,$$当 $x=y$ 时，代入椭圆，得内接正方形的面积为$$S_1=4x^2=4\cdot\dfrac{2}{\sqrt5}\cdot\dfrac{2}{\sqrt5}=\dfrac{16}{5},$$结合均值不等式，有$$S=4xy\leqslant4\cdot\left[x^2+\left(\dfrac{y}{2}\right)^2\right]=4,$$故椭圆内接正方形的面积与椭圆内接矩形的最大面积的比为 $\dfrac45$．
题目
答案
解析
备注
