查看数据源：59e9e5c1c3f07000082a3b77
如图所示，已知圆锥的底面半径为 $7$，母线长为 $14$，$FC$ 是轴截面 $ABC$ 底角 $\angle{ACB}$ 的平分线，$BD$ 是底面的一条弦，且 $\angle{DBC}=30^{\circ}$，则直线 $FC$ 与 $BD$ 的距离是 \((\qquad)\)
A: $\sqrt{14}$
B: $2\sqrt 7$
C: $3\sqrt 7$
D: $\dfrac 72$
【难度】
【出处】
2012年第二十三届“希望杯”全国数学邀请赛高一（二试）
【标注】
  • 知识点
    >
    立体几何
    >
    空间几何量
    >
    空间的距离
    >
    异面直线间的距离
  • 知识点
    >
    立体几何
    >
    空间几何量
    >
    利用向量计算空间几何量
【答案】
B
【解析】
设直线 $FC$ 与 $BD$ 所成的角为 $\theta$，根据三射线定理，有\[\cos\theta=\cos\angle DBC\cdot\cos\angle FCB=\dfrac 34,\]再根据异面直线的距离公式（II），有直线 $FC$ 与 $BD$ 的距离\[d=\dfrac{\sin\angle DBC\sin\angle FCB\sin\dfrac{\pi}2}{\sin\theta}\cdot BC=\dfrac{\dfrac 12\cdot \dfrac 12\cdot 1}{\dfrac{\sqrt 7}4}\cdot 14=2\sqrt 7.\]
题目 答案 解析 备注
0.126732s