已知函数 $f\left(x\right) = a{x^3}- 3{x^2}+ 1$，若 $f\left(x\right)$ 存在唯一的零点 ${x_0}$，且 ${x_0}> 0$，则 $a$ 的取值可以是 \((\qquad)\)
【难度】
【出处】
2014年高考新课标Ⅰ卷（理）
【标注】
【答案】
D
【解析】
函数 $f(x)$ 中 $a$ 与 $x$ 很容易分离到等号两边，可以考虑使用分离变量的方式处理零点问题．
显然 $x=0$ 不是函数 $f(x)$ 的零点，因此以下讨论中默认 $x\neq 0$．
将方程 $ax^3-3x^2+1=0$ 变形为$$a=-\dfrac{1}{x^3}+\dfrac{3}{x},$$令 $t=\dfrac 1x$，则 $a=-t^3+3t$．因此问题即函数 $g(t)=-t^3+3t$ 的图象与直线 $y=a$ 有且只有一个公共点，且该公共点的横坐标大于 $0$．
如图，作出函数 $g(t)$ 的图象，可得 $a$ 的取值范围是 $(-\infty ,-2)$．
显然 $x=0$ 不是函数 $f(x)$ 的零点，因此以下讨论中默认 $x\neq 0$．
将方程 $ax^3-3x^2+1=0$ 变形为$$a=-\dfrac{1}{x^3}+\dfrac{3}{x},$$令 $t=\dfrac 1x$，则 $a=-t^3+3t$．因此问题即函数 $g(t)=-t^3+3t$ 的图象与直线 $y=a$ 有且只有一个公共点，且该公共点的横坐标大于 $0$．
如图，作出函数 $g(t)$ 的图象，可得 $a$ 的取值范围是 $(-\infty ,-2)$．
题目
答案
解析
备注
