关于 $x$ 的方程 $f(x)=0$ 即\[a=\dfrac{\ln x}{2x}-x,\]记右侧函数为 $g(x)$，则其导函数\[g'(x)=\dfrac{1-\ln x-2x^2}{2x^2},\]因此函数 $g(x)$ 先递增在递减，有极大值点．记极大值点为 $x=m$，则不难估算出 $m\in\left(\dfrac 12,1\right)$．考虑到 $g(1)=-1$，于是 $a=-1$ 符合题意．又\[1-\ln m-2m^2=0,\]于是\[\ln m=1-2m^2,\]因此极大值\[\begin{split} g(m)&=\dfrac{1-2m^2}{2m}-m\\
&=\dfrac{1}{2m}-2m\\
&<\left(\dfrac{1}{2m}-2m\right)\Big|_{m=\frac 12}\\
&=0,\end{split}\]因此 $a$ 的最大值为 $-1$．